合并方差

Published on7/29/2025
Created on 6/19/2022

By Chesium\mathsf{By\ Chesium} 2022-06-19 于 SS\mathbb{SS}

参考：均值和方差的计算（已知两样本标准差，求总体标准差）- CSDN nwpu061701 在其基础上添加了过程注释，简化了一部分化简步骤。

已知 x1,…,xnx_1,\dots,x_n 的均值 xˉ\bar x 和 y1,…,ymy_1,\dots,y_m 的均值 yˉ\bar y，以及其分别的方差 σx2,σy2\sigma_x^2,\sigma_y^2。求 xx 和 yy 总体的均值 zˉ\bar z 和方差 σz2\sigma_z^2。

我们先分别写出 xˉ,yˉ,σx2,σy2\bar x,\bar y,\sigma_x^2,\sigma_y^2 的表达式：

xˉ=1n∑i=1nxiyˉ=1n∑i=1myiσx2=1n∑i=1n(xi−xˉ)21σy2=1n∑i=1m(yi−yˉ)22\begin{aligned} \bar x&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i &\\ \bar y&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^my_i &\\ \sigma_x^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 &\qquad\boxed{1}\\ \sigma_y^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^m(y_i-\bar y)^2 &\qquad\boxed{2}\\ \end{aligned}

我们先来求均值 zˉ\bar z：

zˉ=1n+m(∑i=1nxi+∑i=1myi)=nxˉ+myˉn+m\begin{aligned} \bar z&=\frac{1}{n+m}(\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^my_i)\\ &=\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m} \end{aligned}

然后是方差 σz2\sigma_z^2：

(n+m)σz2=∑i=1n(xi−zˉ)2+∑i=1m(yi−zˉ)23 (n+m)\sigma_z^2= \sum_{i=1}^n(x_i-\bar z)^2 +\sum_{i=1}^m(y_i-\bar z)^2\qquad\boxed{3}

3−n1−m2\boxed{3}-n\boxed{1}-m\boxed{2} 得：

(n+m)σz2−nσx2−mσy2=∑i=1n(xi−zˉ)2+∑i=1m(yi−zˉ)2−∑i=1n(xi−xˉ)2−∑i=1m(yi−yˉ)2合并第一、三项和二、四项=∑i=1n[(xi−zˉ)2−(xi−xˉ)2]+∑i=1m[(yi−zˉ)2−(yi−yˉ)2]使用平方差公式展开，合并同类项=∑i=1n(xi−zˉ+xi−xˉ)(xi−zˉ−xi+xˉ)+∑i=1m(yi−zˉ+yi−yˉ)(yi−zˉ−yi+yˉ)=∑i=1n(2xi−zˉ−xˉ)(xˉ−zˉ)+∑i=1m(2yi−zˉ−yˉ)(yˉ−zˉ)将无关项从和式中移出，化简=(xˉ−zˉ)∑i=1n(2xi−zˉ−xˉ)+(yˉ−zˉ)∑i=1m(2yi−zˉ−yˉ)=(xˉ−zˉ)(2∑i=1nxi−nzˉ−nxˉ)+(yˉ−zˉ)(2∑i=1myi−mzˉ−myˉ)=(xˉ−zˉ)(2nxˉ−nzˉ−nxˉ)+(yˉ−zˉ)(2myˉ−mzˉ−myˉ)=n(xˉ−zˉ)(xˉ−zˉ)+m(yˉ−zˉ)(yˉ−zˉ)=n(xˉ−zˉ)2+m(yˉ−zˉ)2展开 zˉ，通分=n(xˉ−nxˉ+myˉn+m)2+m(yˉ−nxˉ+myˉn+m)2=n((n+m)xˉn+m−nxˉ+myˉn+m)2+m((n+m)yˉn+m−nxˉ+myˉn+m)2=n(mxˉ−myˉn+m)2+m(nyˉ−nxˉn+m)2=m2n(xˉ−yˉn+m)2+mn2(yˉ−xˉn+m)2=(m2n+mn2)(xˉ−yˉn+m)2=mn(n+m)(xˉ−yˉ)2(n+m)2=mn(xˉ−yˉ)2n+m\begin{aligned} &(n+m)\sigma_z^2-n\sigma_x^2-m\sigma_y^2\\ =&\sum_{i=1}^n(x_i-\bar z)^2 +\sum_{i=1}^m(y_i-\bar z)^2 -\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 -\sum_{i=1}^m(y_i-\bar y)^2\\ &\text{合并第一、三项和二、四项}\\ =&\sum_{i=1}^n[(x_i-\bar z)^2-(x_i-\bar x)^2] +\sum_{i=1}^m[(y_i-\bar z)^2-(y_i-\bar y)^2]\\ &\text{使用平方差公式展开，合并同类项}\\ =&\sum_{i=1}^n(x_i-\bar z+x_i-\bar x)(x_i-\bar z-x_i+\bar x) +\sum_{i=1}^m(y_i-\bar z+y_i-\bar y)(y_i-\bar z-y_i+\bar y)\\ =&\sum_{i=1}^n(2x_i-\bar z-\bar x)(\bar x-\bar z) +\sum_{i=1}^m(2y_i-\bar z-\bar y)(\bar y-\bar z)\\ &\text{将无关项从和式中移出，化简}\\ =&(\bar x-\bar z)\sum_{i=1}^n(2x_i-\bar z-\bar x) +(\bar y-\bar z)\sum_{i=1}^m(2y_i-\bar z-\bar y)\\ =&(\bar x-\bar z)(2\sum_{i=1}^nx_i-n\bar z-n\bar x) +(\bar y-\bar z)(2\sum_{i=1}^my_i-m\bar z-m\bar y)\\ =&(\bar x-\bar z)(2n\bar x-n\bar z-n\bar x) +(\bar y-\bar z)(2m\bar y-m\bar z-m\bar y)\\ =&n(\bar x-\bar z)(\bar x-\bar z) +m(\bar y-\bar z)(\bar y-\bar z)\\ =&n(\bar x-\bar z)^2 +m(\bar y-\bar z)^2\\ &\text{展开}\ \bar z\text{，通分}\\ =&n(\bar x-\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m})^2 +m(\bar y-\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m})^2\\ =&n(\frac{(n+m)\bar x}{n+m}-\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m})^2 +m(\frac{(n+m)\bar y}{n+m}-\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m})^2\\ =&n(\frac{m\bar x-m\bar y}{n+m})^2 +m(\frac{n\bar y-n\bar x}{n+m})^2\\ =&m^2n(\frac{\bar x-\bar y}{n+m})^2 +mn^2(\frac{\bar y-\bar x}{n+m})^2\\ =&(m^2n+mn^2)(\frac{\bar x-\bar y}{n+m})^2\\ =&mn(n+m)\frac{(\bar x-\bar y)^2}{(n+m)^2}\\ =&\frac{mn(\bar x-\bar y)^2}{n+m}\\ \end{aligned}

移项，使等式左边只留下我们需要求的方差 σz2\sigma_z^2：

(n+m)σz2−nσx2−mσy2=mn(xˉ−yˉ)2n+m(n+m)σz2=nσx2+mσy2+mn(xˉ−yˉ)2n+mσz2=nσx2+mσy2+mn(xˉ−yˉ)2n+mn+m\begin{aligned} (n+m)\sigma_z^2-n\sigma_x^2-m\sigma_y^2 &=\frac{mn(\bar x-\bar y)^2}{n+m}\\ (n+m)\sigma_z^2 &=n\sigma_x^2+m\sigma_y^2 +\frac{mn(\bar x-\bar y)^2}{n+m}\\ \sigma_z^2&= \frac{n\sigma_x^2+m\sigma_y^2 +\frac{mn(\bar x-\bar y)^2}{n+m} }{n+m} \end{aligned}

综上所述：

zˉ=nxˉ+myˉn+mσz2=nσx2+mσy2+mn(xˉ−yˉ)2n+mn+m\begin{aligned} \bar z&=\frac{n\bar x+m\bar y}{n+m}\\ \sigma_z^2&= \frac{n\sigma_x^2+m\sigma_y^2 +\frac{mn(\bar x-\bar y)^2}{n+m} }{n+m} \end{aligned}

全文完。